Швейцарский математик Леонард Эйлер / www.initeh.ru

Работы Эйлера по теории чисел.
Теория степенных вычетов

После работ древнегреческого математика Диофанта уже в новое время (в 1600-е годы) французский математик, советник суда в Тулузе, Пьер Ферма рассмотрел ряд глубоких задач элементарной теории чисел и сообщил полученные им результаты, но по обычаю того времени скрыл их доказательства. Эйлер нашел доказательства всех теорем Ферма, показал неверность одной из них, а знаменитую Великую теорему Ферма, не доказанную и не опровергнутую до сих пор, о целых решениях уравнения

хⁿ + уⁿ = zⁿ,

доказал для n = 3 и n = 4.

Эйлер начал последовательно строить элементарную теорию чисел. Он начал с теории степенных вычетов. Эта теория исследует остатки (вычеты), которые получаются, если делить степени фиксированного натурального числа а на простое число р (модуль), не являющееся делителем а. Оказывается, вычет а^p-1 всегда равен единице. (Это так называемая малая теорема Ферма. Эйлер дал и ее доказательство.) Но а^m при делении на р может дать остаток, равный единице, и при m, меньшем р — 1. Тогда т.есть делитель р — 1 и вычеты степеней а до р — 1-й повторяются периодически. Особенно важны те значения а, для которых при делении на р остаток равен 1 только при показателе, равном р — 1, а не при меньших. Их Эйлер назвал первообразными корнями р. Для таких значений а степени а, а², а³, ..., а^p-1 дают все р — 1 различных ненулевых возможных остатков по модулю р.

Если два числа b и с имеют такие же вычеты, как а и а, то и называются индексами чисел b и с. При умножении b на с индексы складываются (т. е. получается аналогия с теорией логарифмов).

По материалам книги
"Замечательные ученые"
под ред. С.П. Капицы

предыдущая / главная / следующая страница