Пьер Ферма
1601-1665

Теорема Ферма

Малая теорема Ферма

В письме к де-Бесси от 18 октября 1640 года Ферма высказал следующее утверждение: если число а не делится на простое число р, то существует такой показатель , что — 1 делится на р, причем является делителем р — 1. В частности, а^p-1 — 1 всегда делится на р. Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чисел. Эйлер дал этой теореме несколько различных доказательств. Одно из них показывает, как тесно связана эта теорема с теорией групп. Кроме того, Эйлер обобщил малую теорему на случай, когда модуль р представляет собой не простое, а любое целое, взаимно простое с а.

В поисках критерия для простоты числа Ферма от чисел вида — 1 перешел к числам вида + 1. Исследуя числа 2 + 1, он заметил, что если = 2k, то при k = 1, 2, 3, 4 выражение 2 + 1 дает простые числа. Он предположил, что то же будет иметь место и при любом k. Это опроверг Эйлер, показав, что 2²⁵ + 1 делится на 641.

Великая теорема Ферма

В задаче 8 второй книги своей «Арифметики» Диофант поставил задачу представить данный квадрат а² в виде суммы двух рациональных квадратов. На полях, против этой задачи, Ферма написал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». Это и есть знаменитая Великая теорема. Или в современных обозначениях, уравнение

xⁿ + yⁿ = zⁿ      (3)

не имеет решения в целых числах (а значит, и в рациональных) при n > 2 и при xyz не равно 0.

Заметим, что в своих письмах Ферма неоднократно предлагал доказать ее различным математикам, но никогда в таком общем виде, а только для n = 3 и 4.

Теорема эта имела удивительную судьбу. В прошлом веке ее исследования привели к построению наиболее тонких и прекрасных теорий, относящихся к арифметике алгебраических чисел. Без преувеличения можно сказать, что она сыграла в развитии теории чисел не меньшую роль, чем задача решения уравнений в радикалах. С той только разницей, что последняя уже решена Галуа, а Великая теорема до сих пор побуждает математиков к исследованиям.

С другой стороны, простота формулировки этой теоремы и загадочные слова о «чудесном доказательстве» ее привели к широкой популярности теоремы среди не-математиков и к образованию целой корпорации «ферматистов», у которых, по словам Дэвенпорта, «смелость значительно превосходит их математические способности». Поэтому Великая теорема стоит на первом месте но числу данных ей неверных доказательств.

По материалам книги
"Замечательные ученые"
под ред. С.П. Капицы

предыдущая / главная /  следующая страница

© Все права сохранены. Initeh.ru