Пьер Ферма
1601-1665

Метод спуска

Сам Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четвертых степеней (в своих замечаниях к «Арифметике» Диофанта). В своем доказательстве он применил «метод неопределенного или бесконечного спуска», который он описывал в своем письме к Каркави (август 1659 года) следующим образом:

«Если бы существовал некоторый прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством. Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы в силу подобного рассуждения, третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности. Но, если задано число, то не существует бесконечности по спуску меньших его (я все время подразумеваю целые числа). Откуда заключают, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью».

Именно этим методом были доказаны многие предложения теории чисел и, в частности, с его помощью Эйлер доказал Великую теорему для n = 4 (способом, несколько отличным от способа Ферма), а спустя 20 лет и для n = 3. Дело в том, что последнее доказательство он смог провести только с помощью совершенно новых идей, а именно обобщения понятия целого числа. Мы привыкли связывать это понятие только с натуральными числами, однако, оказалось, что есть и другие математические объекты, которые ведут себя как целые числа. Среди таких объектов можно выделить «простые числа» и развить арифметику, аналогичную обычной. Такие числа называются теперь целыми алгебраическими.

Эйлер рассмотрел целые алгебраические числа . В прошлом веке Куммер, занимаясь Великой теоремой Ферма, построил арифметику для целых алгебраических чисел определенного вида. Это позволило ему доказать Великую теорему для некоторого класса простых показателей n.

В настоящее время справедливость Великой теоремы проверена для всех показателей < или = 5500.

Отметим также, что Великая теорема связана не только с алгебраической теорией чисел, но и с алгебраической геометрией, которая сейчас интенсивно развивается.

По материалам книги
"Замечательные ученые"
под ред. С.П. Капицы

предыдущая / главная /  следующая страница

© Все права сохранены. Initeh.ru