Леонард Эйлер
1707-1783

Работы Эйлера по геометрии

Всех работ Эйлера по геометрии 75, и они занимают три тома полного собрания его сочинений. Часть, из них хотя и любопытна, но не очень важна. Некоторые же просто составили эпоху. Во-первых, Эйлера надо считать одним из зачинателей исследований по геометрии в пространстве вообще. Он первый дал связное изложение аналитической геометрии в пространстве (во «Введении в анализ») и, в частности, ввел так называемые углы Эйлера, позволяющие изучать повороты тела вокруг точки. В работе 1752 года «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями», Эйлер дал доказательство того, что у выпуклого многогранника с В вершин, Р ребер и Г граней эти числа всегда связаны соотношениями В — Р + Г = 2. Это в некотором смысле первая в истории математики крупная теорема топологии, самой глубокой части геометрии, которая (в несколько более общем виде) не утратила значения до сих пор. Топология изучает свойства фигур, не меняющиеся, если фигуру можно как угодно растягивать, сжимать и изгибать, но нельзя склеивать и рвать.

В работе «Исследование о кривизне поверхностей» (1760 год) Эйлер рассматривает вопрос, до того никем подробно не изучавшийся. Ответ на вопрос о том, какова изогнутость линии на плоскости в данной ее точке, состоит просто в нахождении радиуса такой окружности, которая так же изогнута. Он был решен Ньютоном. Этот радиус равен

где y = f(x) — уравнение линии, а у' и у" — ее первая и вторая производные в этой точке.

Для поверхности все гораздо сложнее. Метод исследования этого вопроса очень характерен для Эйлера. Пусть М — точка поверхности. Он сначала находит формулу для радиуса кривизны R в точке М для кривой, получающейся сечением поверхности совсем произвольной плоскостью, проходящей через М. Формула получается сложной. Затем он рассматривает только нормальные сечения — такие, когда секущая плоскость проходит через нормаль (т. е. через перпендикуляр) в М к плоскости, касающейся поверхности в точке М. Формула становится проще. Наконец, он обнаруживает, что есть такие два взаимно перпендикулярных («главных») нормальных сечения, радиусы кривизны для которых R₁ и R₂ — наибольший и наименьший. При их помощи получается уже совсем простая формула для радиуса кривизны любого нормального сечения.

Работа 1769 года «Об ортогональных траекториях» Эйлера содержит блестящие соображения о получении с помощью функции комплексной переменной из уравнений двух взаимно ортогональных семейств кривых на поверхности (т. е. таких линий, как меридианы и параллели на сфере) бесконечного числа других взаимно ортогональных семейств. Работа эта в истории математики оказалась очень важной. В следующей работе 1771 года «О телах, поверхность которых может быть развернута в плоскость» Эйлер доказывает знаменитую теорему о том, что любая поверхность, которую можно получить, лишь изгибая плоскость, но не растягивая ее и не сжимая (как лист бумаги, который легко изгибается, но почти нерастяжим), если она не коническая и не цилиндрическая (т. е. не получается движением образующей прямой, проходящей постоянно через одну точку или параллельно самой себе), представляет собой совокупность касательных к некоторой пространственной кривой (ее ребру возврата).

Столь же замечательны работы Эйлера по картографическим проекциям.

В заключение описания геометрических работ Эйлера мы приводим высказывание немецкого математика Коммереля: «Слава и заслуги Гаусса не пострадают, если мы укажем на то, что ряд мыслей и методов, которые Гаусс так блестяще использовал в «Disquisitiones generates» (правда, частично лишь в специальной форме или лишь неполно формулированные), имеется уже у Эйлера. Речь идет, например, о сферическом отображении (когда куску поверхности ставится в соответствие кусок сферы радиуса 1, состоящий из всех таких точек, в которых радиусы этой сферы параллельны нормалям к поверхности в точках этого ее куска)-, о задании поверхности в параметрической форме, совпадении линейных элементов как условии наложимости при изгибании, об исследовании геодезических линий (т. е. кратчайших линий на поверхности между двумя ее точками) при помощи угла, который они образуют с кривыми некоторого семейства на поверхности, и другие».

Можно себе представить, каким откровением для математиков той эпохи явились хотя бы работы Эйлера о кривизне поверхностей и о развертывающихся поверхностях. Работы же, в которых Эйлер исследует отображения поверхности, сохраняющие подобие в малом (конформные отображения), основанные на теории функций комплексного переменного, должны были казаться прямо-таки трансцендентными. А работа о многогранниках начинала совсем новую часть геометрии и по своей принципиальности и глубине стояла в ряду с открытиями Евклида.

По материалам книги
"Замечательные ученые"
под ред. С.П. Капицы

предыдущая / главная

© Все права сохранены. Initeh.ru