 |
Леонард Эйлер
1707-1783
Работы Эйлера по теории чисел
Аналитическая теория чисел
Эйлеру принадлежит инициатива создания и второй части теории чисел — аналитической теории чисел, в которой глубочайшие тайны целых чисел, например, распределение простых чисел в ряду всех натуральных чисел, получаются из рассмотрения свойств некоторых аналитических функций.
Эйлер первый начал рассматривать функцию дзета 
где сумма берется по всем натуральным числам n. Он доказал знаменитую формулу
где П обозначает произведение, которое берется по всем простым числам р. Из этой формулы он получил новое аналитическое доказательство бесконечности числа простых чисел, из нее же он вывел (правда, без достаточно строгого обоснования) приближенное равенство
(здесь р, как и выше,— простые числа, а n — целые). Из этого равенства возник наиболее сильный в настоящее время метод исследования закона распределения простых чисел в натуральном ряде чисел и в прогрессиях. С его помощью П. Л. Чебышев впоследствии установил, как ведет себя функция
— число простых чисел р, не превышающих числа х, при х, стремящемся к бесконечности, а Адамар, используя глубочайшие соображения Римана о поведении
в комплексной плоскости, доказал предельный закон:
Созданная Эйлером аналитическая теория чисел продолжает свое развитие и в наши дни. Один из самых глубоких в ней методов создан в 1934 году академиком И. М. Виноградовым.
Эйлер также интересовался вопросом арифметической природы чисел. От него идет постановка Гольдбахом вопроса о трансцендентности чисел
а
, где а и — алгебраические числа. Эта задача была решена в 1930 году членом-корреспондентом Академии наук СССР А. О. Гельфондом.
Напомним, что число а называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого уравнения
a0xn + a1xn+1 + ... + an = 0
где все числа а0, а1 ... аn — целые. Неалгебраические числа называются трансцендентными.
По материалам книги
"Замечательные ученые"
под ред. С.П. Капицы
© Все права сохранены. Initeh.ru