Эварист Галуа
1811—1832

Дальнейшее исследование групп

Теперь надо внимательнее посмотреть, какие соотношения могут быть между корнями уравнения. Это зависит от того, какие коэффициенты считать допустимыми в таких соотношениях. Возьмем уравнение

x⁴ + x³ + x² + x + 1 = 0.

Если в соотношении допустимы лишь рациональные коэффициенты, то для его корней есть только соотношения Виета, соотношения вида х_k = х₁^k и те, которые из них получаются с помощью рациональных операций. Но если допустить коэффициенты более сложного вида, то появятся и новые соотношения.

Чем шире множество коэффициентов, тем больше соотношений между корнями. А тогда перестановки, сохранявшие верными все старые соотношения, могут уже оказаться непригодными: они могут нарушать новые соотношения. Значит, с расширением множества коэффициентов группа уравнения уменьшается. Но ведь если уравнение решено, то его группа превращается в единичную, т. е. в группу из одной тождественной перестановки. Так вот в чем тайна решения уравнений! Надо расширять множество коэффициентов и следить за тем, как меняется при этом группа уравнения (через много десятилетий все математики будут называть ее группой Галуа). Как только группа превратится в тождественную, уравнение решено. А расширять множество коэффициентов надо, присоединяя к нему корни каких-то вспомогательных уравнений. Теперь ясно, какие вспомогательные уравнения хороши,— только те, присоединение корней которых к допустимому множеству коэффициентов уменьшает группу Галуа.

Осталось выяснить, какой должна быть группа уравнения, чтобы его можно было решить в радикалах. В частном случае ответ содержался в статье, которая появилась в 1829 году в берлинском «Журнале Крелля». Ее автором был знаменитый Абель. Он доказал, что уравнение решается в радикалах, если все его корни можно выразить в виде рациональных функций от одного корня х_k = F_k(х₁), причем эти функции должны обладать следующим свойством коммутативности: F_k[F₁(х)] = F_l[F_k(х)]. В этом случае и перестановки, сохраняющие соотношения х_k = F_k(х₁), обладают тем же свойством коммутативности — их произведение не зависит от порядка сомножителей (для любых перестановок это не так).

Могучим напряжением ума Галуа решает задачу до конца. Оказывается, уравнение решается в радикалах в том и только в том случае, когда его группа определенным образом сводится к коммутативным группам перестановок. При этом Галуа вводит фундаментальные для всей теории групп понятия нормального делителя, смежного класса, разрешимой группы и так далее. Волшебный ключ найден — теория групп раскрывает тайны уравнений.

Перед Галуа разворачивается грандиозный план целой серии научных работ, которым суждено совершить переворот в математике...

По материалам книги
"Замечательные ученые"
под ред. С.П. Капицы

предыдущая / главная /  следующая страница

© Все права сохранены. Initeh.ru