Эварист Галуа
1811—1832

Группы перестановок Галуа

В объявлении о лекциях, Галуа упоминал «новую теорию мнимых, теорию уравнений, разрешимых в радикалах, теорию чисел и эллиптических функций, трактуемых чисто алгебраически», это значит, что уже в это время Галуа уже владел идеями, обессмертившими его имя,— лекции посвящались разрешимости уравнений в радикалах. Над разрешимостью уравнений Эварист начал думать еще со школьной скамьи. Теперь он уже знал, что ошибся, общее уравнение пятой степени нельзя решить в радикалах (доказательство этой теоремы было опубликовано Абелем в 1826 году, а короткое сообщение появилось еще в 1824 году.

Но ведь доказательство Абеля, равно как и исследования Лагранжа, относились к общим уравнениям, к уравнениям с буквенными коэффициентами. А что будет, если рассматривать лишь уравнения с числовыми коэффициентами? Ведь может же случиться, что хотя общей формулы для решения таких уравнений нет, корни каждого отдельного уравнения можно выразить в радикалах. А если это не так? Тогда должен быть какой-то признак, позволяющий определить, решается данное уравнение в радикалах или нет? Что же это за признак?

Нет сомнений, что путеводной звездой для Галуа, кроме работы Лагранжа, служила работа Гаусса (написанная им в семнадцать лет) о построении правильных многоугольников. В этой работе Гаусс исследовал, при каких п уравнение

xⁿ + x^{n - 1} + ... + x + 1 = 0     (1)

можно решить в квадратных радикалах, используя, кроме арифметических действий, лишь извлечение квадратных корней. Но было ясно, что если допустить возможность извлечения корней любой степени, то уравнение (I) решается в радикалах.

Чем же отличается уравнение (1) от уравнения общего вида

xⁿ + a₁x^{n - 1} + ... + a_n = 0 ?    (2)

Тем, что между корнями имеются зависимости, которых нет для корней уравнения (2). Ведь в общем случае между корнями x₁, ..., x_n уравнения (2) есть только найденные еще в XVI веке французским математиком Виетом зависимости

x₁ + x₂ + ... + x_n = - a₁

x₁x₂ + x₁x₃ + ... + x_{n - 1}x_n = a₂     (3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x₁x₂ ... x_n = (-1)ⁿa_n

и те соотношения, которые можно вывести из них с помощью арифметических операций. А корни уравнения (1) имеют вид

k = 1, 2, ..., n, и из формулы Муавра видно, что

т.е. x₁ = x₁, x₂ = x₁², x₃ = x₁³, x₄ = x₁⁴, ...

На соотношениях вида х_k = х₁^k и вытекающих из них следствиях и построено все доказательство Гаусса. Но отдельные следствия из этих соотношений отличаются от последних лишь номерами корней. Например, при n = 4 из соотношений х_k = х₁^k вытекают и такие:

x₂ = x₂, x₄ = x₂², x₁ = x₂³, x₃ = x₂⁴.

Чтобы получить их из соотношений х_k = х₁^k достаточно поменять номера корней по такому закону:

    (4)

Эта запись означает, что х₁ переходит в х₂ (т. е.х₁ заменяется на х₂), х₂ - в х₄ и т. д. Далее, корни можно переставить еще раз. При этом х₁ сначала переходит в х₂, а потом х₂ - в х₄. Окончательно х₁ переходит в х₄. Если проследить за всеми корнями, то окажется, что при повторном применении перестановки (4) получается перестановка

Так получаются четыре различные перестановки корней, в том числе и тождественная перестановка

при которой все корни остаются на месте. Эти перестановки, и только они, переводят соотношения х_k = х₁^k в другие соотношения, выполняющиеся для корней уравнения (1) при n = 4. И любопытно вот что. Если сделать сначала одну такую перестановку, а потом другую, то в результате получится перестановка, которая тоже переводит верные соотношения в верные.

Операция, заключающаяся в таком последовательном выполнении перестановок, обладает множеством свойств, напоминающих свойства произведения чисел. Поэтому мы будем называть эту операцию умножением перестановок.

А нет ли подобных перестановок и для других уравнений? Ведь и для них можно составлять соотношения между корнями и смотреть, при каких перестановках верные соотношения будут переходить в верные. Конечно, самые лучшие — это те уравнения, корни которых — рациональные числа. Такие уравнения решаются без извлечения корней. Для таких уравнений есть очень простые соотношения между корнями x₁ = b₁, ..., x_n = b_n, и единственной «перестановкой», сохраняющей эти соотношения, является тождественная перестановка. Значит, уравнение тем проще, чем меньше совокупность перестановок, сохраняющих соотношения между корнями! Следует как-то назвать такие совокупности перестановок. Эти перестановки собираются вместе, группируются. Не назвать ли их совокупность группой?

Вряд ли, применив это название, Эварист думал, что он вводит в математику новое понятие, которому суждена долгая и славная жизнь, что число работ, посвященных группам, будет исчисляться многими тысячами, что методы теории групп откроют тайны кристаллических решеток, атома и многое другое. Он хотел лишь посмотреть, что происходит с группами перестановок корней в процессе решения уравнений.

Конечно, Галуа не был первым, кто имел дело с группами перестановок корней. Ими занимались уже и Лагранж, и Гаусс. Сам Галуа понимал, что идеи, высказанные им, в неявной форме содержались в работах его предшественников.

Но велика заслуга того, кто разъяснил такие идеи, сформулировал существенные свойства понятий, применил их к решению новых и трудных задач. Это и сделал Галуа для понятия группы — лишь после его работ оно стало предметом изучения математиков.

По материалам книги
"Замечательные ученые"
под ред. С.П. Капицы

предыдущая / главная /  следующая страница

© Все права сохранены. Initeh.ru