Эварист Галуа
1811—1832

Увлечение работами математика Лагранжа

Настоящее умственное наслаждение дает ему чтение работ Лагранжа, одного из крупнейших математиков XVIII века. С поразительной легкостью Галуа овладевает математическим анализом. Но больше всего его заинтересовала работа Лагранжа, в которой великий ученый исследовал проблему разрешимости в радикалах алгебраических уравнений.

Еще в XVI веке итальянские математики Тарталья и Кардано вывели формулы для решения уравнений третьей степени, а Феррари, юный ученик Кардано,— формулы для решения уравнений четвертой степени. Но дальше дело застопорилось: никому не удавалось вывести формулу для решения уравнений пятой степени. В том, что такая формула существует, математики в то время не сомневались. Всем казалось, что дело лишь в том, чтобы найти эту формулу, составить волшебную комбинацию из коэффициентов уравнения, знаков арифметических действий и радикалов, по которой можно будет решить любое уравнение пятой степени. Но проходили десятилетия, а такую комбинацию никому не удавалось составить, хотя многие посвятили этому всю жизнь.

Лагранж отличался своеобразным складом ума. В каждом вопросе он стремился создать широкие теоретические концепции, связывающие в единое целое все множество отдельных задач, предложений и приемов. Этот же подход применил он и к вопросу о решении уравнений в радикалах. Он не стал составлять различные комбинации, а постарался понять, в чем была причина успешности приемов, примененных Кардано, Феррари, Эйлером и многими другими для решения уравнений третьей и четвертой степеней.

Оказалось, что все они делали одно и то же — составляли выражения из корней уравнения, которые при перестановках корней принимали относительно мало различных значений. Например, если взять рациональное выражение, составленное из 4 корней х₁, х₂, х₃, х₄ уравнения четвертой степени, то при различных перестановках корней оно примет, вообще говоря, 24 различных значения (потому что четыре объекта можно переставлять 24 способами).

Одночлен х₁ примет при таких перестановках четыре значения: х₁, х₂, х₃, х₄ , то есть столько же, какова степень уравнения; произведение

(х₁ - х₂)(х₁ - х₃)(х₁ - х₄)(х₂ - х₃)(х₂ - х₄)(х₃ - х₄)

при этих перестановках принимает лишь два различных значения; двучлен х₁х₂ + х₃х₄ только три различных значения. Лагранж доказал, что если х₁, ..., х_n — корни уравнения n-й степени, то число перестановок k, не меняющих вида некоторого рационального выражения f(х₁, ..., х_n), является делителем числа n! (n! = 1 * 2 * ... * n), а само это выражение удовлетворяет уравнению степени (n!/k) коэффициенты которого могут быть выражены через коэффициенты заданного уравнения.

Анализируя всевозможные выражения, составляемые из корней данного уравнения, и перестановки, оставляющие эти выражения неизменными, Лагранж доказал, что если р — простое число, то решение любого уравнения р-й степени сводится указанным путем к решению уравнения степени (р — 2)! При p = 3 имеем (р — 2)! = 1, уравнения первой степени решаются. Если же р = 5, то (р — 2)!=3!=6, то есть решение уравнения пятой степени сводится к решению уравнения шестой степени.

«Отсюда следует,— писал Лагранж,— что весьма сомнительно, чтобы методы, которые мы рассмотрели, могли дать полное решение уравнения пятой степени». Главное же в работе Лагранжа было то, что он установил связь между решением уравнения в радикалах и перестановками корней. Эту связь он назвал «истинной философией решения уравнений».

Работы Лагранжа открыли перед Галуа новый мир. Все его помыслы отныне направлены на математику. Забыты история, литература, риторика; преподаватели этих наук пишут, что «его способности— это не более, чем легенда, которой пора перестать верить». Даже учитель математики Вернье, который был весьма высокого мнения о дарованиях Галуа, считает поведение Эвариста очень плохим, а его самого — скрытным и самолюбивым. Он видит, что юношей владеет страсть к математике, но пытается уговорить его заниматься и математикой, и риторикой. Поздно! Галуа уже вступил на путь самостоятельной научной работы. В шестнадцать лет он совершает ту же ошибку, которую за несколько лет до него сделал другой гениальный юноша — норвежец Нильс Абель,— он думает, что решил уравнение пятой степени.

По материалам книги
"Замечательные ученые"
под ред. С.П. Капицы

предыдущая / главная /  следующая страница

© Все права сохранены. Initeh.ru