www.initeh.ru

главная
контакты

 

Пьер Ферма
1601-1665

Теория чисел

Если в описанных работах Ферма исследовал темы, которые были в центре внимания и многих других математиков его времени (Кеплера, Кавальери, Торричелли, Блеза Паскаля, Валлиса), то в теории чисел он был первооткрывателем. Никто из его современников и никто из математиков, живших после него (вплоть до Эйлера), не понимал ни значения поднятых им проблем, ни внутренней их связи.

От античности остались две большие работы, посвященные вопросам теории чисел: «Начала» Евклида (III век до н. э.) и «Арифметика» Диофанта (по-видимому, середина III века н. э.). В первой из них были обоснованы элементы арифметики целых чисел: доказан закон однозначности разложения целого числа в произведение простых множителей. Там же формулировалась теорема о том, что существует бесконечно много простых чисел.

«Арифметика» Диофанта до сих пор представляется одним из загадочных явлений в истории науки. По своему стилю она резко отличается от классических произведений Евклида, Архимеда и Аполлония. В ней не было и следа «геометрической алгебры», зато вводилась алгебраическая символика, а именно обозначения для неизвестного и первых его шести положительных и отрицательных степеней; кроме того, там были введены отрицательные числа и отличительный знак для них, отвечающий нашему минусу. При решении задач под «числом» понималось не натуральное число, как это было до него, а любое рациональное. Известно, что «Арифметика», состояла из 13 книг, которые были посвящены решению неопределенных уравнений в рациональных положительных числах. В этих книгах нет теорем теории чисел в собственном смысле слова, однако, при решении задач иногда приходилось накладывать ограничения на те или иные целые числа, входящие в условие задачи. По существу, каждое такое «ограничение» представляло теорему теории чисел.

Долгое время эта замечательная книга не была известна в Европе. Но в XVI веке рукопись ее нашли в библиотеке Ватикана и в конце того же века был издан ее латинский перевод (со множеством «темных мест», так как переводчик не был знаком с математикой). В 1621 году вышел новый перевод Баше Де-Мезириака, в котором приводился параллельный греческий текст и комментарии Баше.

Эта книга и сделалась настольной для Ферма. Многие замечательные теоремы он почерпнул из нее, на другие его наводили размышления по поводу некоторых задач и он записывал свои мысли и открытия на полях этой книги. Впоследствии все эти замечания были изданы. Они составляют значительную часть его наследия по теории чисел. Другие его результаты в этой области сформулированы в письмах. Обычно он ставил их в виде проблем перед другими математиками.

Сам Ферма писал: «Арифметика имеет свою собственную область, теорию целых чисел; эта теория была лишь слегка затронута Евклидом и не была достаточно разработана его последователями (если только она не содержалась в тех книгах Диофанта, которых нас лишило разрушительное действие времени); математики, следовательно, должны ее развить или возобновить».

Несмотря на отсутствие доказательств (из них дошло только одно), трудно переоценить значение творчества Ферма в области теории чисел. Ему одному удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же возникающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел, основные проблемы, которые стали центральными для всей классической теории чисел. Ему же принадлежит открытие мощного общего метода для доказательства теоретико-числовых предложений — так называемого метода неопределенного или бесконечного спуска (о котором мы скажем ниже). Поэтому Ферма по праву может считаться основоположником теории чисел.

По материалам книги
"Замечательные ученые"
под ред. С.П. Капицы

предыдущая / главная /  следующая страница

© Все права сохранены. Initeh.ru