www.initeh.ru

главная
контакты

 

Эварист Галуа
1811—1832

Увлечение работами математика Лагранжа

Настоящее умственное наслаждение дает ему чтение работ Лагранжа, одного из крупнейших математиков XVIII века. С поразительной легкостью Галуа овладевает математическим анализом. Но больше всего его заинтересовала работа Лагранжа, в которой великий ученый исследовал проблему разрешимости в радикалах алгебраических уравнений.

Еще в XVI веке итальянские математики Тарталья и Кардано вывели формулы для решения уравнений третьей степени, а Феррари, юный ученик Кардано,— формулы для решения уравнений четвертой степени. Но дальше дело застопорилось: никому не удавалось вывести формулу для решения уравнений пятой степени. В том, что такая формула существует, математики в то время не сомневались. Всем казалось, что дело лишь в том, чтобы найти эту формулу, составить волшебную комбинацию из коэффициентов уравнения, знаков арифметических действий и радикалов, по которой можно будет решить любое уравнение пятой степени. Но проходили десятилетия, а такую комбинацию никому не удавалось составить, хотя многие посвятили этому всю жизнь.

Лагранж отличался своеобразным складом ума. В каждом вопросе он стремился создать широкие теоретические концепции, связывающие в единое целое все множество отдельных задач, предложений и приемов. Этот же подход применил он и к вопросу о решении уравнений в радикалах. Он не стал составлять различные комбинации, а постарался понять, в чем была причина успешности приемов, примененных Кардано, Феррари, Эйлером и многими другими для решения уравнений третьей и четвертой степеней.

Оказалось, что все они делали одно и то же — составляли выражения из корней уравнения, которые при перестановках корней принимали относительно мало различных значений. Например, если взять рациональное выражение, составленное из 4 корней х1, х2, х3, х4 уравнения четвертой степени, то при различных перестановках корней оно примет, вообще говоря, 24 различных значения (потому что четыре объекта можно переставлять 24 способами).

Одночлен х1 примет при таких перестановках четыре значения: х1, х2, х3, х4 , то есть столько же, какова степень уравнения; произведение

1 - х2)(х1 - х3)(х1 - х4)(х2 - х3)(х2 - х4)(х3 - х4)

при этих перестановках принимает лишь два различных значения; двучлен х1х2 + х3х4 только три различных значения. Лагранж доказал, что если х1, ..., хn — корни уравнения n-й степени, то число перестановок k, не меняющих вида некоторого рационального выражения f(х1, ..., хn), является делителем числа n! (n! = 1 * 2 * ... * n), а само это выражение удовлетворяет уравнению степени (n!/k) коэффициенты которого могут быть выражены через коэффициенты заданного уравнения.

Анализируя всевозможные выражения, составляемые из корней данного уравнения, и перестановки, оставляющие эти выражения неизменными, Лагранж доказал, что если р — простое число, то решение любого уравнения р-й степени сводится указанным путем к решению уравнения степени (р — 2)! При p = 3 имеем (р — 2)! = 1, уравнения первой степени решаются. Если же р = 5, то (р — 2)!=3!=6, то есть решение уравнения пятой степени сводится к решению уравнения шестой степени.

«Отсюда следует,— писал Лагранж,— что весьма сомнительно, чтобы методы, которые мы рассмотрели, могли дать полное решение уравнения пятой степени». Главное же в работе Лагранжа было то, что он установил связь между решением уравнения в радикалах и перестановками корней. Эту связь он назвал «истинной философией решения уравнений».

Работы Лагранжа открыли перед Галуа новый мир. Все его помыслы отныне направлены на математику. Забыты история, литература, риторика; преподаватели этих наук пишут, что «его способности— это не более, чем легенда, которой пора перестать верить». Даже учитель математики Вернье, который был весьма высокого мнения о дарованиях Галуа, считает поведение Эвариста очень плохим, а его самого — скрытным и самолюбивым. Он видит, что юношей владеет страсть к математике, но пытается уговорить его заниматься и математикой, и риторикой. Поздно! Галуа уже вступил на путь самостоятельной научной работы. В шестнадцать лет он совершает ту же ошибку, которую за несколько лет до него сделал другой гениальный юноша — норвежец Нильс Абель,— он думает, что решил уравнение пятой степени.

По материалам книги
"Замечательные ученые"
под ред. С.П. Капицы

предыдущая / главная /  следующая страница

© Все права сохранены. Initeh.ru