www.initeh.ru

главная
контакты

 

Пьер Ферма
1601-1665

Представление чисел квадратичными формами

Ферма поставил вопрос об определении вида целых чисел, которые представляются суммой двух квадратов, т. е. формой

x2 + y2      (1)

где х, у — целые. К этому вопросу его привела одна из задач Диофанта. В ней были сформулированы условия, которым должно удовлетворять число N, чтобы оно представлялось формой (1).

Однако переписчики, не понимая смысла этих условий, неправильно их воспроизводили. Ко времени Ферма текст был безнадежно испорчен и чтобы его восстановить, ему пришлось решать задачу заново.

Заметим, что если мы будем рассматривать все целые числа подряд, то очень трудно уловить закон, который позволил бы нам судить о том, представимы ли они формой (1). Числа вида 4n+З нельзя представить в виде формы (1). С другой стороны, числа вида 4n+1 могут быть как представимыми (например, 5=12 + 22), так и непредставимыми (например, 21) в этой форме. Ферма догадался, что надо сначала исследовать, какие простые числа представимы формой (1). Для простых чисел он открыл следующий замечательный закон (который впоследствии получил имя первого дополнения к закону взаимности): все простые числа вида 4n+1 (т.. е. числа 5, 13, 17, 29...) можно представить в виде суммы двух квадратов и притом единственным образом. Это предложение доказать совсем непросто. Доказательство самого Ферма до нас не дошло. Никто из его современников не сумел его провести. Первое доказательство было дано только Эйлером.

Установив закон представимости для простых чисел, Ферма уже легко доказал что число N тогда и только тогда представимо формой (1), когда в его разложении на простые множители никакое простое число вида 4n + 3 не входит в нечетной степени. Путеводной нитью для него послужило утверждение Диофанта о том, что произведение двух чисел, представимых формой (1), также представимо, и притом двумя различными способами, формой (1):

(x2 + y2)(u2 + v2) = (xu - yv)2 + (xv + yu)2 = (xu + yv)2 + (xv - yu)2.      (2)

От формы (1) Ферма перешел к рассмотрению форм x2 + 2y2, x2 + 3y2.

Он нашел вид простых чисел, представимых каждой из этих форм. Для формы х2 + 2y2 это будут простые числа вида 8n+1 и 8n+3. Простые же числа вида 8n + 5 и 8n + 7 такой формой не представляются. Это предложение получило название второго дополнения к закону взаимности. Оно было доказано Лагранжем (1736—1813).

Эти проблемы Ферма положили начало плодотворным исследованиям Эйлера, Лагранжа, Лежандра, а также Гаусса, который подвел итог всему предшествующему развитию и создал в начале прошлого века стройную и прекрасную теорию квадратичных форм (т. е. форм вида ax2 + 2bxy + cy2).

По материалам книги
"Замечательные ученые"
под ред. С.П. Капицы

предыдущая / главная /  следующая страница

© Все права сохранены. Initeh.ru