Швейцарский математик Леонард Эйлер / www.initeh.ru

Работы Эйлера по теории чисел.
Решение неопределенного уравнения второй степени

Эйлер также много лет занимался решением неопределенных уравнений второй степени с двумя неизвестными. Еще Ферма в 1651 году предложил всем математикам мира показать, что при целом положительном A, не являющемся квадратом, неопределенное уравнение х² — Аy² = 1 (его теперь называют уравнением Пелля) имеет бесконечно много решений (x, у) в целых числах. Эйлер исследовал общее неопределенное уравнение

ах² + bху + су² + dx + ey + f = 0,

где a, b, c, d, e и f — целые числа и х и у также ищутся целые.

Такие же уравнения первой степени а^х + bу + с = 0 были решены еще в древности: если с делится на наибольший общий делитель а и b, то такое уравнение всегда имеет бесконечно много решений.

Эйлер понял, что для уравнения второй степени задача, поставленная Ферма, сводится к доказательству того, что квадратный корень из натурального числа А (если А не квадрат) всегда разлагается в периодическую непрерывную дробь

Очень большую роль в упорядочивании элементарной теории чисел сыграла и введенная Эйлером функция (n), равная числу чисел, меньших n и взаимно простых с n.

Во всех этих трех фундаментальных вопросах (которые больше двух столетий после Эйлера и соcтавляли основной объем элементарной теории чисел) — степенные вычеты, закон взаимности, решение неопределенного уравнения второй степени — Эйлер ушел очень далеко, однако во всех трех его постигла неудача: существование первообразного корня для всякого р доказал Гаусс, и как доказал! Закон взаимности тоже доказал Гаусс, причем дал шесть разных, но, правда, весьма трудных доказательств. Периодичность разложения доказал Лагранж в 1768 году, и тем самым, как это ранее показал уже Эйлер, решил общее уравнение второй степени и, в частности, уравнение Пелля. Эта работа Лагранжа, несомненно, является бриллиантом в короне славы Лагранжа как математика. Она имела в дальнейшем целый ряд замечательных обобщений, над которыми работают еще и сейчас.

В переписке Эйлера с его другом академиком Петербургской Академии наук Гольдбахом находятся две знаменитые «задачи Гольдбаха»: доказать, что всякое нечетное натуральное число есть сумма трех простых чисел, а всякое четное — двух. Первое из этих утверждений было при помощи весьма замечательного метода доказано уже в наше время (1937 год) академиком И. М. Виноградовым, а второе не доказано до сих пор.

По материалам книги
"Замечательные ученые"
под ред. С.П. Капицы

предыдущая / главная / следующая страница